Integrazione Numerica

L'integrazione numerica, nota anche come quadratura numerica, consta nel calcolo approssimato di un'integrale - per mezzo dell'integrazione di un'approssimazione della funzione integranda.

Si rammentino i teoremi fondamentali del calcolo:

Teorema 5.1 (Primo teorema fondamentale del calcolo integrale)   Sia $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ una funzione integrabile.

Si definisce ``funzione integrale'' di $f$ la funzione $F$ tale che:

$$F(x)=\int_a^x f(t)dt \qquad a \le x \le b$$

Se $f$ è limitata, allora $F$ è una funzione continua in $[a, b]$.

Se inoltre $f$ è una funzione continua in $(a,b)$, allora $F$ è differenziabile in tutti i punti in cui $f$ è continua e si ha:

$$F^\prime(x)=f(x)$$

cioè la $F$ risulta essere una primitiva di $f$.

Teorema 5.2 (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale)   Sia $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ una funzione che ammette una primitiva $G$ su $[a, b]$.

Sia cioè $G(x)$ tale che:

$$G'(x) = f(x)$$

Se $f$ è integrabile si ha:

$$\int_a^b f(x)dx=G(b)- G(a)$$

Teorema 5.3   Non tutte le funzioni hanno come primitive delle funzioni elementari.

Esempio 5.1   Ad esempio, la funzione $f(x) = e^{-x^2}$ non ha una funzione elementare come primitiva.

Teorema 5.4   L'operazione di integrazione numerica è stabile.

Dimostrazione 5.1   Si supponga che $dist(f, \tilde{f}) \le \varepsilon$.

Si ricordi che:

$$\mathit{dist}(f, \tilde{f}) = \max_{x \in [a,b]} \abs{f(x) - \tilde{f}(x)}$$

Allora

$$\begin{split}\abs{ I(f) - I(\tilde{f}) } & = \abs{ \int_a^b ... ... dx = \varepsilon \int_a^b1 \ dx = \varepsilon(b-a) \end{split}$$

$\qedsymbol$

Lemma 5.1  

$$\abs{ I(f) - I(\phi_n)} \le (b-a)\mathit{dist}(f,\phi_n)$$

Lemma 5.2   Se c'è convergenza uniforme, allora

$$\lim_{n\to\infty} \int_a^b\phi_n = \int_a^bf$$