Successioni di funzioni

Definizione 4.1   Dato un insieme di funzioni $F$ tra due insiemi fissati $X$ e $Y$, una successione di funzioni è una applicazione da $\mathbb{N}$ a $F$.

$$\{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}}$$

Definizione 4.2 (Convergenza puntuale)   Sia $\{ f_n \}$ una successione di funzioni da $X$ a $Y$ e sia $f : X \rightarrow Y$. La successione $\{ f_n \}$ converge puntualmente a $f$ se, per $x$ fissato:

$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$

Definizione 4.3 (Convergenza uniforme)   Sia $\{ f_n \}$ una successione di funzioni da $X$ a $\mathbb{R}$ e sia $f : X \rightarrow \mathbb{R}$. La successione $\{ f_n \}$ converge uniformemente a $f$ se:

$$\forall \, \varepsilon > 0,\,\,\exists N \in \mathbb{N}: \vert f_n(x) - f(x)\vert < \varepsilon \quad \forall x \in X$$ (2)

La convergenza uniforme è indipendente dal valore di $x$ e pertanto un concetto più forte di quella puntuale.

Lemma 4.1   La convergenza uniforme implica quella puntuale, ma non è vero il contrario.

Dimostrazione 4.1   Si consideri come controesempio la successione di funzioni $\{ f_n \}$, dove le $f_n(x)$ sono definite nell'intervallo $[0,\,1]$ e sono descritte dal grafico:

Ogni funzione $f_n(x)$ è nulla per $x \geq 2/n$. La successione converge puntualmente a $f(x) = 0$, poichè, fissato un certo $x$, si riesce sempre a trovare un numero $N$ tale che:

$$\frac{2}{n} \leq x, \quad \forall \, n \geq N \implies f_n(x) = 0$$

Non vi è, però, convergenza uniforme. Qualsiasi sia $n$, infatti, $\vert f_n(\frac{1}{n}) - 0\vert = 1$, quindi basta prendere $\varepsilon \in [0,\,1)$ per mostrare che la (2) non è verificata.

Definizione 4.4 (Convergenza in media)  

$$\mathit{dist}(f_n,f) = \int_a^b \lvert f_n(x) -f(x) \rvert \ dx$$

Definizione 4.5 (Convergenza in media quadratica)  

$$\mathit{dist}(f_n,f) = \sqrt{\int_a^b f_n(x)-f(x)^2 \ dx} \le \int_b^a \underset{x \in [a,b]}{\mathit{max}} \lvert f_n(x)-f(x) \rvert \ dx$$

$$= \underset{x \in [a.b]}{\mathit{max}} \lvert f_n(x) - f(x) \rvert (b-a)$$