Ordine di convergenza del metodo di Newton

Definizione 3.1 (Ordine di convergenza)  

Sia $\{x_n\}$ una successione convergente a $\mu$ e sia $e_n = x_n - \mu$ l'errore al passo $k$.

Se $\exists p > 0, C \neq 0$ t.c.:

$$\lim_{k \to \infty} \frac{\abs{e_{k+1}}}{\abs{e_k}^p} = C$$

Allora $p$ è chiamato ordine di convergenza della successione e $C$ è la costante asintotica di errore.

Per $p = 1$ la convergenza si dice lineare, per $p=2$ si dice quadratica.

Teorema 3.16   Il metodo di Newton converge con ordine almeno 2

Lemma 3.5   Se $f''(\xi) \neq 0$ l'ordine di convergenza del metodo di Newton è esattamente 2.

$&sstarf#star;$ Dimostrazione 3.2  

$$\begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{\abs{e_{n+1}}}{\abs{... ...z_n)}{2 f'(x_n)}} = \abs{\frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}} \end{split}$$

Per definizione di ordine di convergenza, $p=2$ se $f''(\xi) \neq 0$.

$\qedsymbol$