Test di arresto in condizione di ignoranza di $f'$

Se non si hanno informazioni su $f'$ (il calcolo di $f(x)$ è ridotto ad una black box) è possibile usare un test empirico.

Non essendo possibile conoscere $f'$ non si può applicare direttamente:

$$e_n = \frac{\vert f(x_n)\vert}{\lvert f'(z_n) \rvert }, z_n \in (x_n, \xi)$$

È possibile però approssimare $f'(z_n)$:

$$f \in C^1 \Rightarrow f' (z_n) \approx \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}} = f'(u_n) \quad u_n \in (x_n, x_{n-1})$$

Se $f'$ è continua:

$$\lim_{n \to \infty} \begin{cases}f'(z_n) \\ f'(u_n) \end{cases} = f'(\xi) (\neq 0)$$

Infatti $z_n \in (x_n, \xi), u_n \in (x_n, x_{n-1})$, e poiche $x_n \to \xi$ e $x_{n-1} \to \xi$ per il teorema dei Carabinieri:

$$\lim_{x \to \infty} \begin{cases}z_n \\ u_n\end{cases} = \xi$$